Question

【題目】如圖，正方形的頂點、在圓上，若，圓的半徑為2，則陰影部分的面積是__________．（結果保留根號和）

Answer 1

【答案】

【解析】

設AD和BC分別與圓交于點E和F，連接AF、OE，過點O作OG⊥AE，根據90°的圓周角對應的弦是直徑，可得AF為圓的直徑，從而求出AF，然后根據銳角三角函數和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根據平行線的性質、銳角三角函數和圓周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S陰影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF計算即可．

解：設AD和BC分別與圓交于點E和F，連接AF、OE，過點O作OG⊥AE

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm

∴AF為圓的直徑

∵，圓的半徑為2，

∴AF=4cm

在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=

∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=

∴∠EAF=∠AFB=60°

∴∠EOF=2∠EAF=120°

在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cos∠EAF·AO=1cm

根據垂徑定理，AE=2AG=2cm

∴S陰影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF

=

=

=

故答案為：．