Question

【題目】如圖，正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連結GF，給出下列結論：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4 ，其中正確的結論個數為（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，
故①正確．
∵由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜ AB，∴ ＞2，
故②錯誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S△AGD＞S△OGD ，
故③錯誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
故④正確．
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF= OG，∴BE= EF= × OG=2OG．
故⑤正確．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF時等腰直角三角形．
∵S△OGF=1，
∴ OG2=1，解得OG= ，∴BE=2OG=2 ，GF= = =2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2 +2，∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥錯誤．
∴其中正確結論的序號是：①④⑤．
故選B．
①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；
④由折疊的性質與平行線的性質，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；
⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質，即可得BE=2OG；
⑥根據四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF時等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的長，進而可得出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結論．此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．