Question

【題目】如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線，以O為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G．
（1）求證：直線PE是⊙O的切線；
（2）在圖2中，設PE與⊙O相切于點H，連結AH，點D是⊙O的劣弧 上一點，過點D作⊙O的切線，交PA于點B，交PE于點C，已知△PBC的周長為4，tan∠EAH= ，求EH的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

作OH⊥PE，

∴∠OHP=90°，

∵∠PAE=90，

∴∠OHP=∠OAP，

∵PO是∠APE的角平分線，

∴∠APO=∠EPO，

在△PAO和△PHO中

，

∴△PAO≌△PHO，

∴OH=OA，

∵OA是⊙O的半徑，

∴OH是⊙O的半徑，

∵OH⊥PE，

∴直線PE是⊙O的切線

（2）

解：如圖2，連接GH，

∵BC，PA，PB是⊙O的切線，

∴DB=DA，DC=CH，

∵△PBC的周長為4，

∴PB+PC+BC=4，

∴PB+PC+DB+DC=4，

∴PB+AB+PC+CH=4，

∴PA+PH=4，

∵PA，PH是⊙O的切線，

∴PA=PH，

∴PA=2，

由（1）得，△PAO≌△PHO，

∴∠OFA=90°，

∴∠EAH+∠AOP=90°，

∵∠OAP=90°，

∴∠AOP+∠APO=90°，

∴∠APO=∠EAH，

∵tan∠EAH= ，

∴tan∠APO= = ，

∴OA= PA=1，

∴AG=2，

∵∠AHG=90°，

∵tan∠EAH= = ，

∵△EGH∽△EHA，

∴ = ，

∴EH=2EG，AE=2EH，

∴AE=4EG，

∵AE=EG+AG，

∴EG+AG=4EG，

∴EG= AG= ，

∵EH是⊙O的切線，EGA是⊙O的割線，

∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）= ×（ +2）= ，

∴EH=

【解析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線；
　　　　（2）先利用切線的性質和△PBC的周長為4求出PA=2，再用三角函數求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線定理即可．此題是切線的性質和判定題，主要考查了切線的判定和性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理，三角函數，解本題的關鍵是用三角函數求出OA．