Question

如圖，AB是⊙O的直徑，延長弦BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長ED交AB延長線于點F，求陰影部分的面積．

Answer 1

（1）
直線DE與⊙O的位置關系是相切，
證明：連接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
直線DE是⊙O的切線，
即直線DE與⊙O的位置關系是相切；

（2）∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠DOB=∠A=60°，
∵DE是⊙O切線，
∴∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴FO=2OD=12，
由勾股定理得：DF=6

3

，
∴陰影部分的面積S=S_△ODF-S_扇形DOB=

1

2

×6×6

3

-

60π×62

360

=18

3

-6π．