Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，BF⊥AB交AD的延長線于點F，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長．

Answer 1

（1）證明：連OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（等弦對等角），
又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角對等邊），
∴∠1=∠3（等量代換），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）過D作DP⊥AB，P為垂足，
∵AD為∠BAC的平分線，DE=3，
∴DP=DE=3，又⊙O的半徑為5，
在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，則AP=9，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴

DP

FB

=

AP

AB

，即

3

BF

=

9

10

，
∴BF=

10

3

．