Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．

⑴ 求證：四邊形CFDE是正方形； ⑵ 若AC＝3，BC＝4，求△ABC的內切圓半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)1.

【解析】

（1）過D作DG⊥AB交AB于G點，由角平分線性質得出DF＝DG，同理可得DE＝DG，則DE＝DF，再由∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°可得四邊形CFDE是正方形；
（2）先計算AB的長，由AF＝AG，BE＝BG得出AF＋BE＝AB，從而得到2CE＝AC＋CB－AB＝2，求得CE＝1，△ABC的內切圓半徑為1．

過D作DG⊥AB交AB于G點，如圖所示：

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴DF＝DG，同理可證DE＝DG，

∴DE＝DF，

∵∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°，

∴四邊形CFDE是正方形；

⑵ ∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，由⑴知AF＝AG，BE＝BG，

∴AF＋BE＝AB，

∵四邊CFDE是正方形，

∴2CE＝AC＋CB－AB＝2，即CE＝1，△ABC的內切圓半徑為1．