Question

【題目】已知直線y=x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=x2+bx+c經過點A，B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點C（m，0）在線段OA上（點C不與A，O點重合），CD⊥OA交AB于點D，交拋物線于點E，若DE=AD，求m的值；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點D，B，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x22x+3（2）-2（3）存在（1，2）或（1，0）

【解析】分析：（1）先求直線與軸和軸的交點坐標，利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）根據點C的橫坐標為m可得D和E的橫坐標都是m，根據解析式表示其縱坐標，計算鉛直高度DE的長，利用勾股定理得： 最后根據已知列式可得m的值；
（3）分兩種情況：
①以BC為一邊，如圖1，證明≌，得可得
②當BD為對角線時，如圖2，M在拋物線的頂點，N是對稱軸與x軸的交點，此時

詳解：(1)當x=0時，y=3，

∴B(0,3)，

當y=0時，x+3=0，

x=3，

∴A(3,0)，

把A(3,0),B(0,3)代入拋物線中得：

解得：

∴拋物線的解析式為：

(2)∵CD⊥OA,C(m,0)，

∴

∴

∵AC=m+3,CD=m+3,

由勾股定理得：

∵

∴

(m+3)(m+2)=0，

m1=3(舍),m2=2；

(3)存在，分兩種情況：

①以BC為一邊，如圖1，設對稱軸與x軸交于點G，

∵C(2,0)，

∴D(2,1),E(2,3),

∴E與B關于對稱軸對稱，

∴BE∥x軸，

∵四邊形DNMB是平行四邊形，

∴BD=MN,BD∥MN，

∵

∴△EDB≌△GNM，

∴NG=ED=2，

∴N(1,2)；

②當BD為對角線時，如圖2，

M在拋物線的頂點，N是對稱軸與x軸的交點，此時四邊形BMDN是平行四邊形，

此時N(1,0)；

綜上所述,點N的坐標為(1,2)或(1,0).