Question

【題目】如圖1，等腰中，點分別在腰上，連結，若，則稱為該等腰三角形的逆等線．

（1）如圖1，是等腰的逆等線，若，求逆等線的長；

（2）如圖2，若直角的直角頂點恰好為等腰直角底邊上的中點，且點分別在上，求證：為等腰的逆等線；

（3）如圖3，等腰的頂點與原點重合，底邊在軸上，反比例函數的圖象交于點，若恰為的逆等線，過點分別作軸于點軸于點，已知，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）由是等腰的逆等線，得CF=AE=2，根據勾股定理，即可得到答案；

（2）連接AD，根據等腰直角三角形的性質，得AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，從而得∠ADE=∠CDF，進而證：ADECDF（ASA），即可得到結論；

（3）設OF=x，則DF=，作AG⊥OB于點G，CH⊥AG于點H，易證△ACH△DBF(AAS)，得EG=CH=BF，AH=DF，進而得EG=x4，由△ACH~△COE，得，列出關于x的方程，即可求解．

（1）∵是等腰的逆等線，

∴CF=AE=2，

∵，

∴AF=5-2=3，

∵，

∴；

（2）連接AD，

∵點為等腰直角底邊上的中點，

∴AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∴ADECDF（ASA），

∴AE=CF，

∴為等腰的逆等線；

（3）設OF=x，則DF=，

作AG⊥OB于點G，CH⊥AG于點H，

∵CD為的逆等線，

∴AC=BD，

∵是等腰三角形，

∴∠ACH=∠AOB=∠DBF，∠AHC=∠AGO=∠DFB=90°，

在△ACH和△DBF中

∵，

∴△ACH△DBF(AAS)，

∴EG=CH=BF，AH=DF，

又∵AO=AB，且AG⊥OB，

∴OG=BG，

∴GF=BGBF=OGEG=OE，

∴EG=x22=x4，

∵△ACH~△COE，

∴，即：，化簡得：x24x4=0，解得：x1=，x2= (舍去)，

∴OF=．