Question

【題目】在△OAB中，OA＝OB，OA⊥OB．在△OCD中，OC＝OD，OC⊥OD．

（1）如圖1，若A，O，D三點在同一條直線上，求證：S△AOC＝S△BOD；

（2）如圖2，若A，O，D三點不在同一條直線上，△OAB和△OCD不重疊．則S△AOC＝S△BOD是否仍成立？若成立，請予以證明；若不成立，也請說明理由．

（3）若A，O，D三點不在同一條直線上，△OAB和△OCD有部分重疊，經過畫圖猜想，請直接寫出 S△AOC和S△BOD的大小關系．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）S△AOC＝S△BOD仍成立；（3）S△AOC＝S△BOD．

【解析】試題分析：（1）由OA＝OB，OC＝OD，再結合三角形面積公式即可得到結論；

（2）作DE⊥OB于E，作CF⊥OA交AO的延長線于F．通過證明

△OED≌△OFC，得到DE＝CF，再由三角形面積公式即可得到結論；

（3）類似（2）可得結論．

試題解析：解：（1）∵A，O，D三點在一條直線上，OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠BOD＝∠AOC＝90°，∴S△AOC＝OAOC，S△BOD＝OBOD．

∵OA＝OB，OC＝OD，∴S△AOC＝S△BOD．

（2）S△AOC＝S△BOD仍成立．證明如下：

作DE⊥OB于E，作CF⊥OA交AO的延長線于F．

∵∠BOF＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COF．

在△OED和△OFC中， ，

∴△OED≌△OFC（AAS），∴DE＝CF，∴S△AOC＝OACF，S△BOD＝OBDE，

∴S△AOC＝S△BOD．

（3）S△AOC＝S△BOD．