Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，∠EDF=90°，DE交AC于點G，DF經過點C．

（1）若∠B=60°．

①求∠ADE的度數；

②如圖2，將圖1中的∠EDF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），旋轉過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直線AC于點P，DF1交直線BC于點Q，DE2交直線AC于點M，DF2交直線BC于點N，求的值；

（2）將（1）問中的“若∠B=60°”改為“∠B=β（60°＜β＜90°）”，其余條件不變，判斷的值是否為定值，如果是，請直接寫出這個值（用含β的式子表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠ADE=30°；②（2）見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）根據含30°的直角三角形的性質和等邊三角形的性質解答即可；

（2）根據相似三角形的判定和性質以及直角三角形中的三角函數解答即可；

（3）由（2）的推理得出，再利用直角三角形的三角函數解答．

試題解析：（1）①∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，

∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵∠EDC=90°，

∴∠ADE=30°；

②∵∠C=90°，∠MDN=90°，

∴∠DMC+∠CND=180°，

∵∠DMC+∠PMD=180°，

∴∠CND=∠PMD，

同理∠CPD=∠DQN，

∴△PMD∽△QND，

過點D分別做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高，∴=，∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，∴DG∥BC，又∵D為AC中點，∴G為AC中點，∵∠C=90°，∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

Rt△AGD中， =，即=．

（2）是定值，定值為tan（90°﹣β），∵=，四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

∴Rt△AGD中， =tan∠A=tan（90°﹣∠B）=tan（90°﹣β），∴=tan（90°﹣β）．