Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．有如下結論：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是．其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如圖1，連接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根據折疊的性質，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN為等邊三角形．
∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，
即結論①正確；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=，
即結論②不正確．
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，
∴QN=BG；
∵BG=BM=，
∴QN=，
即結論③不正確．
∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，
∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG為等邊三角形，
即結論④正確．
∵△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，
∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°=，
根據條件易知E點和H點關于BM對稱，∴PH=PE，
∴P與Q重合時，PN+PH的值最小，此時PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN==，
∴PN+PH=，
∴PN+PH的最小值是，
即結論⑤正確．
故答案為：①④⑤．
①首先根據EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根據折疊的性質，可得AB=BN，據此判斷出△ABN為等邊三角形，即可判斷出∠ABN=60°．
②首先根據∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根據AB=2，求出AM的大小即可．
③首先根據EF∥BC，QN是△MBG的中位線，可得QN=BG；然后根據BG=BM=，求出QN的長度即可．
④根據∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等邊三角形．
⑤首先根據△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，判斷出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根據E點和H點關于BM稱可得PH=PE，因此P與Q重合時，PN+PH=PN+PE=EN，據此求出PN+PH的最小值是多少即可．