Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．

（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P=，CF=5，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠PCA=∠ABC；

（2）

解：∵AE∥PC，

∴∠PCA=∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ACF=∠ABC，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠ACF=∠CAF，

∴CF=AF，

∵CF=5，

∴AF=5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD=∠P，

∵sin∠P=，

∴sin∠FAD=，

在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=，

∴FD=3，AD=4，∴CD=8，

在Rt△OCD中，設OC=r，

∴r2=（r﹣4）2+82，

∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，

∵sin∠EAD=，∴，

∵AB=20，

∴BE=12．

【解析】（1）連接OC，由PC切⊙O于點C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB為⊙O的直徑，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，證得∠OCA=∠OAC，于是得到結論；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根據垂徑定理得到 ， 于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根據等腰三角形的性質得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，設OC=r，根據勾股定理得到方程r2=（r﹣4）2+82 ， 解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD=，得到于是求得結論．
本題考查了圓的相關性質，涉及知識點有：切線的性質、垂徑定理以及等腰三角形、勾股定理和三角函數值得應用。