Question

【題目】定義：無論函數解析式中自變量的字母系數取何值，函數的圖象都會過某一個點，這個點稱為定點. 例如，在函數中，當時，無論取何值，函數值，所以這個函數的圖象過定點.

求解體驗

（1）①關于的一次函數的圖象過定點_________.

②關于的二次函數的圖象過定點_________和_________.

知識應用

（2）若過原點的兩條直線、分別與二次函數交于點和點且，試求直線所過的定點.

拓展應用

（3）若直線與拋物線交于、兩點，試在拋物線上找一定點，使，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）直線上的定點為；（3）點為

【解析】

（1）①由可得y=k(x+3),當x=﹣3時，y=0,故過定點（﹣3,0），即可得出答案.

②由，當x=0或x=1時，可得y＝2020，即可得出答案.

（2）由題意可得，直線AB的函數式 ，根據相似三角形的判定可得，進而根據相似三角形的性質可得，代入即可得出直線AB的函數式，當x=0時，y=﹣2，進而得出答案.

（3）由、可得直線的解析式為，又由直線，可得c+d和cd的值，最后根據相似三角形的性質以及判定，列出方程，即可得出E的坐標.

解：（1）①；②.

提示：①，當時，，故過定點.

②，當或1時，，

故過定點.

（2）設直線的解析式為，將點的坐標代入并解得直線的解析式為.

如圖，分別過點作軸的垂線于點，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，解得，

故直線的解析式為.

當時，，故直線上的定點為.

（3）∵點的坐標分別為，，

同（2）可得直線的解析式為，

∵，

∴.

設點，如圖，過點作直線軸，過點作直線的垂線與直線分別交于點.

同（2）可得，，

∴，

即，

化簡得，

即，

當時，上式恒成立，

故定點為.