Question

【題目】在Rt中，∠A=90°，AC=4，，將沿著斜邊BC翻折，點A落在點處，點D、E分別為邊AC、BC的中點，聯結DE并延長交所在直線于點F，聯結，如果為直角三角形時，那么____________

Answer 1

【答案】4或

【解析】

當△A1EF為直角三角形時，存在兩種情況：
①當∠A1EF=90°時，如圖1，根據對稱的性質和平行線可得：A1C= A1E=4，根據直角三角形斜邊中線的性質得：BC=2 A1E=8，最后利用勾股定理可得AB的長；
②當∠A1FE=90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

解：當△A1EF為直角三角形時，存在兩種情況：
①當∠A1EF=90°時，如圖1，
∵△A1BC與△ABC關于BC所在直線對稱，
∴A1C=AC=4，∠ACB=∠A1CB，
∵點D，E分別為AC，BC的中點，
∴D、E是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A1EF，
∴AC∥A1E，
∴∠ACB=∠A1EC，
∴∠A1CB=∠A1EC，
∴A1C= A1E=4，
Rt△A1CB中，∵E是斜邊BC的中點，
∴BC=2 A1E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=
②當∠A1FE=90°時，如圖2，
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A1BC與△ABC關于BC所在直線對稱，
∴∠ABC=∠CB A1=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；
綜上所述，AB的長為4或4；
故答案為：4或4.