Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求證：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的長及四邊形ADEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：如圖，過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×12=6，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=6，
∴BE==．
∴DE=BE=，
∴四邊形ADEF的面積為：DEDG=．

【解析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結論；
（2）首先過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案．