Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且B（1，0），C（0，3），將△BOC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，C點(diǎn)恰好與A重合．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P為線段AB上的任一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CP，求△PCE面積S的最大值；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，Q為它的圖象上的任一動點(diǎn)，若△OMQ為以OM為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（3）Q（，），或（，）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意求出A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，0），則PB=1﹣x，根據(jù)三角形的面積可得二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值可求解；

（3）根據(jù)配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程可求解.

試題解析：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．

∵△BOC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，C點(diǎn)恰好與A重合．

∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），

∵點(diǎn)A，B，C在拋物線上，

∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，0），則PB=1﹣x，

∴S△PBE=（1﹣x）2，

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x﹣1）2+，

當(dāng)x=1時(shí)，S△PCE的最大值為．

（3）∵二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，4），

∵△OMQ為等腰三角形，OM為底，

∴MQ=OQ，

∴=，

∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，

∴Q（，），或（，）．