Question

（2012•郴州）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸．
（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MA+MB的值最小，并求出點M的坐標．
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上三點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再由對稱軸公式x=-

b

2a

求出對稱軸；
（2）如答圖1所示，連接AC，則AC與對稱軸的交點即為所求之M點；已知點A、C的坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式，進而求出點M的坐標；
（3）根據梯形定義確定點P，如圖2所示：
①若BC∥AP₁，確定梯形ABCP₁．此時P₁為拋物線與x軸的另一個交點，解一元二次方程即可求得點P₁的坐標；
②若AB∥CP₂，確定梯形ABCP₂．此時P₂位于第四象限，先確定CP₂與x軸交點N的坐標，然后求出直線CN的解析式，再聯立拋物線與直線解析式求出點P₂的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點，
∴

16a+4b+c=0 4a+2b+c=3 c=3

，解得a=-

3

8

，b=

3

4

，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3；
其對稱軸為：x=-

b

2a

=1．

（2）由B（2，3），C（0，3），且對稱軸為x=1，
可知點B、C是關于對稱軸x=1的對稱點．
如答圖1所示，連接AC，交對稱軸x=1于點M，連接MB，
則MA+MB=MA+MC=AC，根據兩點之間線段最短可知此時MA+MB的值最小．
設直線AC的解析式為y=kx+b，∵A（4，0），C（0，3），
∴

4k+b=0 b=3

，解得k=-

3

4

，b=3，
∴直線AC的解析式為：y=-

3

4

x+3，
令x=1，得y=

9

4

，
∴M點坐標為（1，

9

4

）．

（3）結論：存在．
如答圖2所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：
①若BC∥AP₁，此時梯形為ABCP₁．
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x軸，則x軸與拋物線的另一個交點P₁即為所求．
拋物線解析式為：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3，令y=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四邊形ABCP₁為梯形；
②若AB∥CP₂，此時梯形為ABCP₂．
設CP₂與x軸交于點N，
∵BC∥x軸，AB∥CP₂，
∴四邊形ABCN為平行四邊形，
∴AN=BC=2，
∴N（2，0）．
設直線CN的解析式為y=kx+b，則有：

b=3 2k+b=0

，
解得k=-

3

2

，b=3，
∴直線CN的解析式為：y=-

3

2

x+3．
∵點P₂既在直線CN：y=-

3

2

x+3上，
又在拋物線：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3上，
∴-

3

2

x+3=-

3

8

x²+

3

4

x+3，化簡得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點P₂橫坐標為6，代入直線CN解析式求得縱坐標為-6，∴P₂（6，-6）．
∵?ABCN，
∴AB=CN，而CP₂≠CN，
∴CP₂≠AB，
∴四邊形ABCP₂為梯形．
綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為（-2，0）或（6，-6）．

點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、軸對稱-最短路線問題以及梯形的定義與應用等知識點，屬于代數幾何綜合題，有一定的難度．第（3）問為存在型問題，注意P點不止一個，此處為易錯點．