Question

【題目】如圖，在正方形中，對角線相交于點，以為邊向外作等邊，連接交于若點為的延長線上一點，連接，連接且平分，下列選項正確的有(　　)

①；②；③；④

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①連結OE，根據正方形性質和等邊三角形性質可證：OE垂直平分AD，進而可證：△CDF∽△EOF，由相似三角形性質即可求得DF；

②由，又由兩條平行之間的距離處處相等得，即可得，利用三角形面積公式計算即可得出結果；

③過點F作PQ⊥CD分別交CD、AB于點P、Q，在MA上截取MT=MC，連接FT、CT，求得相關的線段長，可證：△MCF≌△MTF（SAS），Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），求出BT的長，利用特殊角的三角函數值和等邊三角形的判定與性質即可求得；

④根據解直角三角形和線段的加減運算分別求出的長，整理即可得出這三條線段之間的數量關系，即可做出判斷．

解：如圖1，連結OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=90°，OD=OB，OC=OA，BD=AC，

∴OD=OB=OC=OA，

∵△ADE是等邊三角形，，

∴，∠ADE=60°，

∴，

∴，

則，

∵AE=DE，OD=OA，

∴OE垂直平分AD，即OE⊥AD，DH=AH，

∴，

，

∴，

∵∠ADC=∠DHE=90°，

∴CD∥OE，

∴△CDF∽△EOF，

∴，則，即，

∵，則，

∴，解得：，故①正確；

∵，

又∵CD∥OE，

∴，

∴

，

故②正確；

如圖2，過點F作PQ⊥CD分別交CD、AB于點P、Q，在MA上截取MT=MC，連接FT、CT，則為等腰三角形，

在中，，

∴為等腰直角三角形，，

由得：，則為等腰直角三角形，

∵，

∴，，

則，

∴，則，

，

∵FM平分∠AMC，

∴∠CMF=∠AMF，

在△MCF和△MTF中，

，

∴△MCF≌△MTF（SAS），

∴CF=FT，

在Rt△CFP和Rt△FTQ中，

∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），

∴，

∴，則，

∴，

在中，，

∴，則為等邊三角形，

∴，故③正確；

∵，

∴，則，

∴，

，

在中，，

∴，

∵

∴，故④錯誤；

∴正確的選項有3個，

故選：C．