Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，D為AB延長線上一點，DC=AC，∠ACD=120°，BD=10．
（1）判斷DC是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）求扇形BOC的面積．

Answer 1

分析：（1）DC是⊙O的切線．根據△ACD，△AOC為等腰三角形，∠ACD=120°，利用三角形內角和定理求∠OCD=90°即可；
（2）由（1）可知，∠COD=60°，在Rt△OCD中，已知BD=10，利用解直角三角形的方法求半徑，再利用扇形面積公式求解．

解答：解：（1）DC是⊙O的切線．
理由：∵DC=AC，
∴∠CAD=∠D，
又∵∠ACD=120°，
∴∠CAD=

1

2

（180°-∠ACD）=30°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°，
∴DC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△OCD中，sin∠D=

OC

OD

=

r

r+BD

，
∵∠D=30，BD=10，
∴

r

r+10

=

1

2

，
解得r=10，
∴扇形BOC的面積=

nπr2

360

=

60×π×102

360

=

50π

3

．

點評：本題考查了圓的切線的判定，扇形面積公式的運用．關鍵是利用已知角，特殊三角形，三角形內角和定理求解．