Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，∠DAB的平分線AC交圓O與點C，作CD⊥AD，垂足為點D，直線CD與AB的延長線交于點E．
（1）求證：直線CD為圓O的切線．
（2）當AB=2BE，DE=2

3

時，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB，接著利用平行線的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切線的判定定理即可證明CD為⊙O的切線；
（2）由AB=2BO，AB=2BE得到BO=BE=CO，設BO=BE=CO，推出∠E=30°，解直角三角形求出AD即可．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O直徑且C在半徑外端，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，
∴BO=BE=CO，
即OC=

1

2

OE，
∵∠OCB=90°，
∴∠E=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，DE=2

3

，
∴AD=DE×tan30°=2．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質，同時也利用了圓周角定理及勾股定理，首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的性質和解直角三角形求出即可．