Question

【題目】如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與x軸交于點A、與y軸交于點B．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過O、A兩點，與直線l交于點C，點C的橫坐標為﹣1．

（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）若點P是位于直線l下方拋物線上的一個動點，且不與點A、點C重合，連接PA、PC．設△PAC的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值；
（3）如圖2，設拋物線的頂點為D，連接AD、BD．點E是對稱軸m上一點，F是拋物線上一點，請直接寫出當△DEF與△ABD相似時點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=﹣1時，y=﹣x+2=3，則C（﹣1，3），

當y=0時，﹣x+2=0，解得x=2，則A（2，0），

∵拋物線過點O（0，0）、A（2，0），

設拋物線解析式為y=ax（ x﹣2 ），

將點C（﹣1，3）代入得3=﹣a（﹣1﹣2 ），解得a=1，

∴該拋物線解析式為y=x（ x﹣2 ），即y=x2﹣2x

（2）

解：設P（m，m2﹣2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），

∴PQ=（﹣m+2 ）﹣（m2﹣2m）=﹣m2+m+2，

∴S=S△PQC+S△PQA= （2+1）PQ=﹣ m2+ m+3=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，S有最大值，最大值為 ，

把m= 代入m2﹣2m得m2﹣2m=﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：設F點坐標為（t，t2﹣2t），

當x=1時，y=x2﹣2x=﹣1，則D（1，﹣1），當x=0時，y=﹣x+2=2，則B（0，2），

∵AB2=22+22=8，AD2=12+12=2，DB2=12+（2+1）2=10，

∴AB2+AD2=DB2，

∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，

如圖2，

當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE：2 =EF： ，

∴DE=2EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，此時E點坐標為（1，3）；

當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE： =EF：2 ，

∴DE= EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，此時E點坐標為（1，﹣ ）；

如圖3，

當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，

過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，同樣方法可得G（1，3），則F（3，3），

∵GF2=GEGD，即22=GE4，

∴GE=1，

∴此時E點坐標為（1，4）；

當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1， ），

綜上所述，E點坐標為（1，3），（1，4），（1， ），（1，﹣ ）．

【解析】（1）先根據一次函數圖象上點的坐標特征求出C（﹣1，3），A（2，0），再設交點式y=ax（ x﹣2 ），然后把點C點坐標代入求出a即可得到該拋物線解析式為y=x2﹣2x；（2）設P（m，m2﹣2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），則PQ=﹣m2+m+2，根據三角形面積公式，利用S=S△PQC+S△PQA可得到S=﹣ m2+ m+3，然后根據二次函數的性質解決最值問題（3）設F點坐標為（t，t2﹣2t），先確定D（1，﹣1），B（0，2），再利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，然后分類討論：如圖2，當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°，利用相似比得DE=2EF，由于EF⊥DE，則E（1，t2﹣2t），所以t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，易得此時E點坐標為（1，3）；當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，利用相似比得DE= EF，
由EF⊥DE得到E（1，t2﹣2t），則t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，易得此時E點坐標為（1，﹣ ）；如圖3，當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，用前面方法可得G（1，3），則F（3，3），利用GF2=GEGD可計算出GE=1，則此時E點坐標為（1，4）；當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1， ）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用一次函數的性質和二次函數的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．