Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；

（3）在（2）的條件下：

①連接DF，求tan∠FDE的值；

②試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）利用待定系數法求得即可；

（2）根據C的縱坐標求得F的坐標，然后通過△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長；

（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，根據圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF===，即可求得tan∠FDE=；

②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，過D點作DG₁∥CE，交直線l于G₁，過D點作DG₂⊥CE，交直線l于G₂，則∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°，求得直線CE的解析式為y=﹣x+3，即可設出直線DG₁的解析式為y=﹣x+m，直線DG₂的解析式為y=2x+n，把D的坐標代入即可求得m、n，從而求得解析式，進而求得G的坐標．

【解答】解：（1）如圖1，∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點，

∴，

解得．

∴拋物線解析式為y=﹣x²+x+3；

（2）如圖2，∵點F恰好在拋物線上，C（0，3），

∴F的縱坐標為3，

把y=3代入y=﹣x²+x+3得，3=﹣x²+x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

（3）①如圖3，連接CE，

△OCD≌△HDE，

∴HE=OD=1，

∵BF=OC=3，

∴EF=3﹣1=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，

∴C、D、E、F四點共圓，

∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=4，

∴tan∠ECF===，

∴tan∠FDE=；

②如圖4連接CE，

∵CD=DE，∠CDE=90°，

∴∠CED=45°，

過D點作DG₁∥CE，交直線l于G₁，過D點作DG₂⊥CE，交直線l于G₂，則∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°

∵EH=1，OH=4，

∴E（4，1），

∵C（0，3），

∴直線CE的解析式為y=﹣x+3，

設直線DG₁的解析式為y=﹣x+m，

∵D（1，0），

∴0=﹣×1+m，解得m=，

∴直線DG₁的解析式為y=﹣x+，

當x=4時，y=﹣+=﹣，

∴G₁（4，﹣）；

設直線DG₂的解析式為y=2x+n，

∵D（1，0），

∴0=2×1+n，解得n=﹣2，

∴直線DG₂的解析式為y=2x﹣2，

當x=4時，y=2×4﹣2=6，

∴G₂（4，6）；

綜上，在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°，點G的坐標為（4，﹣）或（4，6）．

【點評】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，一次函數的解析式，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行線的性質等，數形結合思想的應用是解題的關鍵．