Question

某企業為一商場提供家電配件，從去年1至9月，該配件的原材料價格一路攀升，每件配件的原材料價格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

隨著國家調控措施的出臺，原材料價格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數）之間存在如圖所示的變化趨勢：

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₁與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數關系式；

（2）若去年該配件每件的售價為100元，生產每件配件的人力成本為5元，其它成本3元，該配件在1至9月的銷售量p₁（萬件）與月份x滿足函數關系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數），10至12月的銷售量p₂（萬件）與月份x滿足函數關系式p₂=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數）．求去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；

（3）今年1月份，每件配件的原材料價格均比去年10月上漲8元，人力成本比去年增加1元，其它成本沒有變化，該企業將每件配件的售價在去年的基礎上提高a%，與此同時每月銷售量均在去年12月的基礎上減少8a%．這樣，該月完成了17萬元利潤的任務，請你計算出a的值．

Answer 1

【考點】二次函數的應用．

【專題】銷售問題．

【分析】（1）根據表格可以得到y₁與x之間的函數關系式，根據函數圖象可以得到y₂與x之間的一次函數關系式；

（2）根據題意可以分別求出當1≤x≤9時的最大利潤和10≤x≤12時的利潤的最大值，然后進行比較，即可求得去年哪個月銷售該配件的利潤最大，并求出這個最大利潤；

（3）根據題目中的信息可以列出相應的關系式，從而可以求得a的值．

【解答】解：（1）設y₁=kx+b，

由表格可得，，

解得，

∴y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整數），

設y₂=ax+b，

由函數圖象可知，點（10，73），（12，75）在函數的圖象上，

∴

解得，

∴y₂=x+63（10≤x≤12且x取整數），

即y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整數），y₂=x+63（10≤x≤12且x取整數）；

（2）設去年第x月的利潤為w萬元，

當1≤x≤9且x去整數時，

w=（100﹣5﹣3﹣y₁）×p₁

=（92﹣2x﹣54）（0.1x+1.1）

=﹣0.2x²+1.6x+41.8

=﹣0.2（x﹣4）²+45

∵1≤x≤9，

∴當x=4時，w取得最大值，此時w=45；

當10≤x≤12且x取整數，

w=（100﹣5﹣3﹣y₂）p₂

=（92﹣x﹣63）（﹣0.1x+2.9）

=0.1（x﹣29）²，

∵10≤x≤12且x取整數，

∴當x=10時，w取得最大值，此時w=36.1；

∵45＞36.1

∴去年4月銷售該配件的利潤最大，最大利潤是45萬元；

（3）由題意可得，

[100（1+a%）﹣81﹣6﹣3]×（﹣0.1×12+2.9）（1﹣8a%）=17

解得a₁=2.5，a₂=0（舍去）

即a的值為2.5．

【點評】本題考查二次函數的應用、求函數的解析式、求函數的最值，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．