Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E是直線AD上的動點，將BE繞點B順時針方向旋轉60°得到BF，連接EF、CF、AF．

（1）如圖1，當點E在線段AD上時，猜想∠AFC和∠FAC的數量關系；（直接寫出結果）

（2）如圖2，當點E在線段AD的延長線上時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的結論，若不成立，請寫出你的結論，并證明你的結論；

（3）點E在直線AD上運動，當△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出∠EBC的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠AFC+∠FAC＝90°，見解析；（2）仍成立，見解析；（3）15°

【解析】

（1）由旋轉的性質可得BE＝BF，∠EBF＝60°，由“SAS”可證△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性質可得結論；

（2）由旋轉的性質可得BE＝BF，∠EBF＝60°，由“SAS”可證△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性質可得結論；

（3）由全等三角形的性質和等邊三角形的性質可得AB＝AE，由等腰三角形的性質可求解．

解：（1）∠AFC+∠FAC＝90°，

理由如下：連接AF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∵將BE繞點B順時針方向旋轉60°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBF＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

∴∠ACF＝90°，

∴∠AFC+∠FAC＝90°；

（2）結論仍然成立，

理由如下：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∵將BE繞點B順時針方向旋轉60°得到BF，

∴BE＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBF＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

∴∠ACF＝90°，

∴∠AFC+∠FAC＝90°；

（3）∵△ACF是等腰直角三角形，

∴AC＝CF，

∵△ABE≌△CBF，

∴CF＝AE，

∴AC＝AE＝AB，

∴∠ABE＝＝75°，

∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝15°．