Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA＝x．

(1)求證：△PFA∽△ABE；

(2)若以P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似，試求x的值；

(3)試求當x取何值時，以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)滿足條件的x的值為2或5；(3)當x=4-或x=4+或8＜x≤4+2時，⊙D與線段AE只有一個公共點．

【解析】

（1）根據正方形的性質和PF⊥AE易證三角形相似.

（2）由于對應關系不確定，所以應針對不同的對應關系分情況考慮：當∠PEF=∠EAB時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當∠PEF=∠AEB時，再結合△PFA∽△ABE，得到等腰△APE．再根據等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質進行求解．

（3）此題首先應針對點P的位置分為兩種大情況：點P在AD邊上時或當點P在AD的延長線上時．同時還要特別注意⊙D與線段AE只有一個公共點，不一定必須相切，只要保證和線段AE只有一個公共點即可．故求得相切時的情況和相交，但其中一個交點在線段AE外的情況即是x的取值范圍．

(1)證明：∵正方形ABCD，

∴AD∥BC．

∴∠ABE＝90°．

∴∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA＝∠ABE＝90°．

∴△PFA∽△ABE．

(2)解：情況1，當△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB時，

則有PE∥AB

∴四邊形ABEP為矩形．

∴PA＝EB＝2，即x＝2．

情況2，當△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時，

∵∠PAF＝∠AEB，

∴∠PEF＝∠PAF．

∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點．

∵===，

∴EF=AE=．

∵=，即=，

∴PE＝5，即x＝5．

∴滿足條件的x的值為2或5．

(3)解：如圖，

作DH⊥AE，則⊙D與線段AE的距離d即為DH的長，可得d＝

當點P在AD邊上時，⊙D的半徑r＝DP＝4﹣x；

當點P在AD的延長線上時，⊙D的半徑r＝DP＝x﹣4；

如圖1時，⊙D與線段AE相切，此時d＝r，即=4-x，∴x=4-；

如圖2時，⊙D與線段AE相切，此時d＝r，即=x-4，∴x=4+；

如圖3時，DA=PD，則PA=x=2DA=8

如圖4時，當PD＝ED時，

∵DE＝＝2，

∴PA＝PD+AD＝4+2，

∴當x=4-或x=4+或8＜x≤4+2時，⊙D與線段AE只有一個公共點．