Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A(-1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交與點C.

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)若點D是y軸上的點，且以B、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標;

(3)如圖2，CE//x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC、CE分別相交于點F，G，試探求當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積.

Answer 1

【答案】(1)y=x2-4x-5；(2)D點坐標為(0，1)或(0，)；(3)H(，)；四邊形CHEF的最大面積為.

【解析】

（1）根據待定系數法直接確定出拋物線解析式；
（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點D的坐標；
（3）先求出直線BC的解析式，進而求出四邊形CHEF的面積的函數關系式，即可求出最大值；

解：(1)把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得

，解得

二次函數的解析式為y=x2-4x-5.

(2) 如圖1,令x=0，則y=5，

∴C(0,5)，

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6,BC=5，

要使以B,C,D為頂點的三角形與△ABC相似,則有或，

當時，

CD=AB=6，

∴D(0,1)，

當時，

∴，

∴CD=，

∴D(0, )，

即：D的坐標為(0,1)或(0, )；

(3)設H(t，t2-4t-5)

∥x軸， ，

又因為點E在拋物線上，即 ，解得（舍去）

∴BC所在直線解析式為y=x-5,

∴ 則，

而CE是定值，

∴當HF的值最大時，四邊形CHEF有最大面積。

當時，HF取得最大值，四邊形CHEF的最大面積為

,

此時H(，)