Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F是AC′的中點，連接DF．

（1）求∠FDP的度數；

（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數量關系，并證明；

（3）連接AC，若正方形的邊長為，請直接寫出△ACC′的面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）BP+DP＝AP，證明詳見解析；（3）﹣1．

【解析】

（1）證明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；

（2）作輔助線，構建全等三角形，證明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，從而得△PAP'是等腰直角三角形，可得結論；

（3）先作高線C'G，確定△ACC′的面積中底邊AC為定值2，根據高的大小確定面積的大小，當C'在BD上時，C'G最大，其△ACC′的面積最大，并求此時的面積．

（1）由對稱得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C'D，

∵F是AC'的中點，

∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，

∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；

（2）結論：BP+DP＝AP，

理由是：如圖，作AP'⊥AP交PD的延長線于P'，

∴∠PAP'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，

∴∠DAP'＝∠BAP，

由（1）可知：∠FDP＝45°

∵∠DFP＝90°

∴∠APD＝45°，

∴∠P'＝45°，

∴AP＝AP'，

在△BAP和△DAP'中，

∵，

∴△BAP≌△DAP'（SAS），

∴BP＝DP'，

∴DP+BP＝PP'＝AP；

（3）如圖，過C'作C'G⊥AC于G，則S△AC'C＝ACC'G，

Rt△ABC中，AB＝BC＝，

∴AC＝，即AC為定值，

當C'G最大值，△AC'C的面積最大，

連接BD，交AC于O，當C'在BD上時，C'G最大，此時G與O重合，

∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，

∴C'G＝﹣1，

∴S△AC'C＝．