Question

【題目】思維探索：

在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線CB，DC于點E，F，∠EAF＝45°．

（1）如圖1，當點E，F分別在線段BC，CD上時，△CEF的周長是　 　；

（2）如圖2，當點E，F分別在CB，DC的延長線上，CF＝2時，求△CEF的周長；

拓展提升：

如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長線上取一點E，使∠EDA＝30°，連接AE，當BD＝2，∠EAD＝45°時，請直接寫出線段CE的長度．

Answer 1

【答案】思維探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．

【解析】

思維探索：（1）利用旋轉的性質，證明△AGE≌△AFE即可；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°到AD，交CD于點G，證明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；

拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長線于G，推出四邊形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根據正方形的性質得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根據全等三角形的性質得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝2，設CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，根據線段的和差即可得到結論．

思維探索：

（1）如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，

∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，

在△AGE和△AFE中

∴△AGE≌△AFE（SAS），

∴GE＝EF，

∵GE＝GB+BE＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF，

∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，

故答案為：8；

（2）如，2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°到AD，交CD于點G，

同（1）可證得△AEF≌△AGF，

∴EF＝GF，且DG＝BE，

∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，

∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；

拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長線于G，

∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，

∴四邊形ACBG是矩形，

∵AC＝BC，

∴矩形ACBG是正方形，

∴AC＝AG，∠CAG＝90°，

在BG上截取GF＝CE，

∴△AEC≌△AGF（SAS），

∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，

∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，

∴∠DAF＝∠DAE＝45°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADF（SAS），

∴∠ADF＝∠ADE＝30°，

∴∠BDE＝60°，

∵∠DBE＝90°，BD＝2，

∴DE＝DF＝4，BE＝2，

設CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，

∴DG＝2+2﹣x，

∴DG﹣FG＝DF，

即2+2﹣x﹣x＝4，

∴x＝﹣1，

∴CE＝﹣1．