Question

【題目】如圖，⊙M經過O點，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長是方程的兩根．

（1）求線段OA、OB的長；

（2）若點C在劣弧OA上,連結BC交OA于D，當OC2＝CD·CB時，求點C的坐標；

（3）若點C在優弧OA上，作直線BC交x軸于D，是否存在△COB和△CDO相似，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA=12，OB=5；（2）C點坐標為（6，-4）；（3）存在． C點坐標為（6，9）．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程即可得到OA=12，OB=5；

（2）連接AB、AC、MC，MC與OA交于F，如圖1，由OC2=CDCB，∠OCD=∠BCO，根據相似三角形的判定方法即可得到△COD∽△CBO，則∠2=∠1，而根據圓周角定理有∠1=∠3，所以∠2=∠3，得到弧AC=弧OC，根據垂徑定理得MC⊥OA，OF=AF=OA=6，然后根據圓周角定理由∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則在Rt△AOB中，根據勾股定理可計算出AB=13，得到MC=，易得MF=OB=，則FC=MC-MF=4，于是得到C點坐標為（6，-4）；

（3）連接AC，連接CM并延長交OA于F，如圖2，若CA=CO，則∠COA=∠CAO，根據鄰補角的定義得∠COA+∠COD=180°，根據圓內接四邊形的性質得∠CAO+∠CBO=180°，則∠COD=∠CBO，加上∠OCD=∠DCO，根據相似的判定方法即可得到△CBO∽△COD；由CA=CO得弧CA=弧CO，根據垂徑定理得CF⊥AC，由（2）得MF=，CM=，OF=6，則CF=CM+MF=9，于是得到C點坐標為（6，9）．

（1）∵（x-12）（x-5）=0，

∴x1=12，x2=5，

∴OA=12，OB=5；

（2）連接AB、AC、MC，MC與OA交于F，如圖1，

∵OC2=CDCB，即OC：CD=CB：OC，

而∠OCD=∠BCO，

∴△COD∽△CBO，

∴∠2=∠1，

∵∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴弧AC=弧OC，

∴MC⊥OA，

∴OF=AF=OA=6，

∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙M的直徑，

在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，

∴AB=13，

∴MC=，

∵MF為△AOB的中位線，

∴MF=OB=，

∴FC=MC-MF=4，

∴C點坐標為（6，-4）；

（3）存在．

連接AC，連接CM并延長交OA于F，如圖2，

若CA=CO，則∠COA=∠CAO，

∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，

∴∠COD=∠CBD，而∠OCD=∠DOC，

∴△CBO∽△COD，

∵CA=CO，

∴弧CA=弧CO，

∴CF⊥AC，

由（2）得MF=，CM=，OF=6，

∴CF=CM+MF=9，

∴C點坐標為（6，9）．