Question

【題目】如圖，二次函數 的圖象與x軸交于點 A,B，與y軸交于點C．點P是該函數圖象上的動點，且位于第一象限，設點P的橫坐標為x．

（1）寫出線段AC,BC的長度：AC= ， BC=；
（2）記△BCP的面積為S，求S關于x的函數表達式；
（3）過點P作PH⊥BC，垂足為H，連結AH,AP，設AP與BC交于點K，探究：是否存在四邊形ACPH為平行四邊形？若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理由，并求出 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC= ,BC=
（2）解：設P（x, ），則有

= =

（3）解：過點P作PH⊥BC于H，

∵ ，

∴△ABC為直角三角形，即AC⊥BC；∴AC∥PH，

要使四邊形ACPH為平行四邊形，只需滿足PH=AC= ，

∴ =5，而 = = ，

所以不存在四邊形ACPH為平行四邊形

由△AKC∽△PHK，

∴ = （當x=2時，取到最大值）

【解析】（1）根據二次函數解析式寫出A、B、C點的坐標，利用勾股定理即可得出AC、BC的長。
（2）求三角形的面積常用割補法，題解過程中，利用坐標系先進行補，在分割減法，即S = S Δ O C P + S Δ O B P S Δ O B C
（3）首先判定四邊形是否存在，根據（2）求出PH長，和（1）中AC的長，得出對應邊無法相等，所以四邊形不存在，根據相似求出的值。