Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若 ，半徑OA=3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

（2）解：連接BE，AD，∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，BD=DC，

∵sinC= ，

∴sin∠ABC= ，

∵AB=2OA=6，

∴AD=2 ，

∴BD= ，

∴BC=2BD= ，

在Rt△BEC中，∵sinC= ，

∴BE= BC= ，

在Rt△ABE中，AE=

【解析】（1）要證切線可連接半徑，證垂直，即證OD⊥DF即可；（2）出現(xiàn)直徑時(shí)，連接BE，AD，構(gòu)造出90度的圓周角，利用sinC的定義，求出BE,再利用勾股定理求出AE.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)定理和切線的判定定理，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．