Question

已知：關于x的方程x²-kx-2=0．
（1）求證：無論k為何值時，方程有兩個不相等的實數根．
（2）設方程的兩個實數根為x₁，x₂，若2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范圍．
（3）設方程的兩個實數根為x₁，x₂，且滿足

1

x1

+

1

x2

=-

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式△=b²-4ac來確定方程的根的情況；
（2）由根與系數的關系x₁+x_2=-

b

a

、x₁x₂=

c

a

來求k的取值范圍；
（3）首先把

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，再把x₁+x₂=k，x₁x₂=-2代入即可得到關于k的方程，再解方程即可．

解答：（1）證明：由方程x²-kx-2=0知：
a=1，b=-k，c=-2，
∴△=b²-4ac，
=（-k）²-4×1×（-2）
=k²+8＞0，
∴無論k為何值時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵方程x²-kx-2=0．的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，
又∵2（x₁+x₂）＞x₁x₂，
∴2k＞-2，即k＞-1．

（3）解：

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

2

3

，

k

-2

=-

2

3

，
k=-

4

3

．

點評：此題主要考查了根的判別式，以及根與系數的關系，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．