Question

【題目】如圖，AB垂直平分線段CD（AB＞CD），點E是線段CD延長線上的一點，且BE＝AB，連接AC，過點D作DG⊥AC于點G，交AE的延長線與點F．

（1）若∠CAB＝α，則∠AFG＝　 　（用α的代數式表示）；

（2）線段AC與線段DF相等嗎？為什么？

（3）若CD＝6，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）45°﹣α；（2）相等，理由見解析；（3）EF＝3．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠BAE＝∠AEB＝45°，根據三角形的內角和即可得到結論；

（2）連接AD，根據線段垂直平分線的性質得到AC＝AD，求得∠ADC＝∠ACB＝α，于是得到AC＝DF；

（3）根據已知條件得到BD＝CB＝3，過F作FH⊥CE交CE的延長線于H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH＝HE，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解：（1）∵AB⊥CD，

∴∠ABE＝90°，

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠AEB＝45°，

∵∠CAB＝α，∠CDG＝90°﹣（90°﹣α）＝α＝∠EDF．

∴∠AFG＝∠AED﹣∠EDF＝45°﹣α；

故答案為：45°﹣α；

（2）相等，

證明：連接AD，

∵AB垂直平分線段CD，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°﹣α，

∴∠DAE＝∠ADC﹣45°＝45°﹣α，

∴∠DAE＝∠AFD，

∴AD＝DF，

∴AC＝DF；

（3）∵CD＝6，

∴BD＝CB＝3，

過F作FH⊥CE交CE的延長線于H，

則△EHF是等腰直角三角形，

∴FH＝HE，

∵∠H＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠CDG＝∠FDH，AC＝AD＝DF，

∴△ACB≌△DFH（AAS），

∴FH＝CB＝3，

∴EF＝FH＝3．