Question

【題目】如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，連接，，延長交于點，下列結論：①；②；③；④為等腰三角形；⑤，其中正確的有( )

A.①③B.①②④C.①③④D.①②③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據等腰直角三角形的性質即可證明∠CBE＝∠DAE，再得到△ADE≌△BCE；

②根據①結論可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可解題；

③證明△AEF≌△BED即可；

④根據△AEF≌△BED得到DE=EF, 又DE⊥CF，故可判斷；

⑤易證△FDC是等腰直角三角形，則CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE．

①∵AD為△ABC的高線，

∴CBE＋∠ABE＋∠BAD＝90°，

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，

∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝45°，AE＝BE，

∴∠CBE＋∠BAD＝45°，

∴∠DAE＝∠CBE，故①正確；

在△DAE和△CBE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

②∵△ADE≌△BCE，

∴∠EDA＝∠ECB，

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠EDC＋∠ECB＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∴CE⊥DE；

故②正確；

③∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE，∠AFE＝∠ADC＋∠ECD，

∴∠BDE＝∠AFE，

∵∠BED＋∠BEF＝∠AEF＋∠BEF＝90°，

∴∠BED＝∠AEF，

在△AEF和△BED中，

，

∴△AEF≌△BED（AAS），

∴BD＝AF

故③正確；

∵△AEF≌△BED

∴DE=EF, 又DE⊥CF，

∴△DEF為等腰直角三角形，故④錯誤；

④∵AD＝BC，BD＝AF，

∴CD＝DF，

∵AD⊥BC，

∴△FDC是等腰直角三角形，

∵DE⊥CE，

∴EF＝CE，

∴S△AEF＝S△ACE，

∵△AEF≌△BED，

∴S△AEF＝S△BED，

∴S△BDE＝S△ACE．

故④正確；

故選：D．