Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點（點A在原點左側，點B在原點右側），與y軸交于點C，已知OA＝1，OC＝OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若D（2，m）在該拋物線上，連接CD，DB，求四邊形OCDB 的面積；

（3）設E是該拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點E作EH⊥x軸于點H，再過點F作FG⊥x軸于點G，得到矩形EFGH.在點E運動的過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4.；（2）16；（3）正方形的邊長為或.

【解析】

（1）先求出點C的坐標，則B的坐標即可求得，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）求出D的坐標，作DM⊥x軸于點E．則S四邊形OCDB=S梯形OCDM+S△BMD，利用C、D的坐標即可求出四邊形OCDB的面積；
（3）分兩種情況考慮，當點E在x軸上方和下方，根據E和F關于對稱軸對稱，然后利用正方形的性質即可列方程求解．

解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，得y＝4，則點C的坐標是（0，4）.

∵OC＝OB，

∴B的坐標是（4，0）．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4.

（2）∴點D（2，m）在拋物線y＝﹣x2+3x+4上，

∴﹣4+6+4＝m，解得m＝6.所以D（2，6）.

作DM⊥x軸于點M，如圖①所示．

則S四邊形OCDB＝S梯形OCDM+S△BMD＝×（4+6）×2+×2×6＝10+6＝16．

（3）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4，

∴拋物線的對稱軸是x＝﹣.

如圖②，設點E的坐標為（x，-x2+3x+4），則點F的坐標為（3-x，-x2+3x+4），EF= x-（3-x）=2x-3.

∵四邊形EFGH是正方形，

∴EF=EH.

當E在x軸上方時，2x-3=-x2+3x+4，解得x1=，x2=（舍去）

∴EF=；當E在x軸下方時，2x-3=-（-x2+3x+4），解得x1=，x2=（舍去）.

∴EF=.所以正方形的邊長為或.