Question

【題目】已知在長方形ABCD中，AB=4，BC=，O為BC上一點，BO=，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，M為線段OC上的一點．

（1）若點M的坐標為（1，0），如圖①，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在y軸上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；

（2）若點M的坐標為（1，0），如圖①，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P落在長方形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

（3）若將（2）中的點M的坐標改為（4，0），其它條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個？求出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）2個，P的坐標為（0，﹣1）、（0，1）；（2）點P的坐標為：（1，4），1個；（3），P′的坐標為（0，4），P′′的坐標為（1，4），P′′′的坐標為（4，4），符合條件的等腰三角形有4個．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質解答；

（2）根據線段垂直平分線的性質解答即可；

（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三種情況，根據等腰三角形的性質解答．

解：（1）∵以OM為一邊作等腰△OMP，點P在y軸上，

∴OP=OM，又點M的坐標為（1，0），

∴OP=OM=1，

∴符合條件的等腰三角形有2個，

則點P的坐標為（0，﹣1）、（0，1）；

（2）由題意得，OM為等腰△OMP的底邊，

則點P在線段OM的垂直平分線上，

∴點P的坐標為：（1，4），

則符合條件的等腰三角形有1個；

（3）如圖，∵OP=OM，

∴OP=4，

∴BP==，

∴點P的坐標為（﹣，），

由題意得，P′的坐標為（0，4），P′′的坐標為（1，4），P′′′的坐標為（4，4），

符合條件的等腰三角形有4個．