Question

如圖已知二次函數圖象的頂點為原點，直線y=

1

2

x+4的圖象與該二次函數的圖象交于A點（8，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．
（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于D點，與x軸交于點E．設線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設此二次函數的解析式為y=ax²，
∵A點（8，8）在二次函數y=ax²上，
∴8=a×8²，
∴a=

1

8

，
∴y=

1

8

x²，
∵直線y=

1

2

x+4與y軸的交點為B，
∴B點坐標為：（0，4）．

（2）P點在y=

1

2

x+4上且橫坐標為t，
∴P（t，

1

2

t+4），
∵PD⊥x軸于E，
∴D（t，

1

8

t²），E（t，0），
∵PD=h，
∴

1

2

t+4-

1

8

x²=h，
∴h=-

1

8

x²+

1

2

t+4，
∵P與AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）當BD⊥PE時，
△PBD∽△BCO，
∵

OB

PD

=

OC

BD

，
∴

4

h

=

8

t

，
∴h=

1

2

t，
∴-

1

8

x²+

1

2

t+4=

1

2

t，
x=4

2

或x=-4

2

（舍去）
∴P點的縱坐標是：

1

2

×4

2

+4=2

2

+4，
∴此時P點的坐標是；（4

2

，2

2

+4）

（2）當DB⊥PC時，
△PBD∽△BCO，
過點B作BF⊥PD，
則F（t，4），
∴PF=

1

2

t+4-4=

1

2

t，
BF=t，
根據勾股定理得：
PB=

t2+( 1 2 t)2

=

5

2

t，
BC=

OB2+OC2

=

42+82

=4

5

假設△PBD∽△BOC，
則有

PB

OB

=

PD

BC

，
∴

5 2 t

4

=

1 2 t+4- 1 8 t2

4 5

，
解得：t₁=-8+4

6

，t₂=-8-4

6

（不合題意舍去），
∴

1

2

t+4=

1

2

×（-8+4

6

）+4=2

6

，
∴P（-8+4

6

，2

6

）．