Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=2，AB=5，BC=10，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），作∠AEF=∠AEB,使邊EF交邊CD于點(diǎn)F,(不與C，D重合），線(xiàn)段BE=______________時(shí)，△ABE與△CEF相似。

Answer 1

【答案】或8

【解析】

分類(lèi)討論，當(dāng)∠AEB=∠FEC時(shí)，根據(jù)正切函數(shù)，可得ME的長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)段的和差，可得答案，當(dāng)∠AEB=∠EFC時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BM與ME的關(guān)系，根據(jù)線(xiàn)段的和差，可得答案；

解：如圖：過(guò)A作AM⊥BC，過(guò)D作DN⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，AD=2，BC=10，
∴BM=CN=4，BN=6，
又AB=5，
∴，
∴DN=AM=3

△ABE與△CEF相似有兩種情況，

（1）當(dāng)∠AEB=∠FEC時(shí)
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
由（1）知：AM=3，BM=4
∴，
∴，

（2）當(dāng)∠AEB=∠EFC時(shí)，
∵∠AEF=∠AEB，
∴∠AEF=∠EFC，
∴AE∥DC，
∴∠AEB=∠C=∠B，
∴△ABE是等腰三角形，

如圖，過(guò)A 作AM⊥BC，
∴BM=ME（等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)）．
∵BM=4，
∴BE=2BM=8，
綜上，當(dāng)△ABE∽△CEF時(shí)，BE的長(zhǎng)為或8；