Question

【題目】定義：有兩條邊長的比值為 的直角三角形叫“潛力三角形”．如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中點，E是CD的中點，DF∥AE交BC于點F．

（1）設“潛力三角形”較短直角邊長為a，斜邊長為c，請你直接寫出 的值為；
（2）若∠AED=∠DCB，求證：△BDF是“潛力三角形”；
（3）若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）2或
（2）

解：證明：延長AE交BC于G，如圖所示：

∵DF∥AE，D是AB的中點，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中點，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴ = ，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潛力三角形”；

（3）

解：分四種情況：

①當 = 時，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC= = =5；

②當 = 時，DF=2BF=2，

∴BD= = = ，

∴AB=2BD=2 ，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

③當 = 時，BD= BF= ，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

④當 = 時，

設BD=x，則DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x= ，

∴AB=2BD= ，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC= = = ；

綜上所述：若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，線段AC的長為5或 或 或 ．

【解析】（1）解：分兩種情況：
①當 = 時， =2；
②設另一條直角邊長為b，當 = 時，b=2a，
∵∠B=90°，
∴c= = a，
∴ = ；
所以答案是：2或 ；
【考點精析】通過靈活運用三角形的“三線”，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內即可以解答此題．