Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點．

（1）則點A，B，C的坐標分別是A（ ，　 ），B（ ，　 ），C（　 ，　 ）；
（2）設經過A，B兩點的拋物線解析式為y=（x﹣5）2+k，它的頂點為E，求證：直線EA與⊙M相切；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2；0；8；0；0；4
（2）

證明：把點A（2，0）代入拋物線y=（x﹣5）2+k，

得：k=﹣，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵MA2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA與⊙M相切；

（3）

解：存在；點P坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC=，

分三種情況：

①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合，

∴P（5，4）；

②當BP=BC=4時，如圖2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③當PC=BC=4時，連接MC，如圖3所示：

則∠PMC=90°，

根據勾股定理得：PM=，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

綜上所述：存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，

點P的坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）．

【解析】（1）連接MC、MA，由切線的性質得出MC⊥y軸，MC=MA=5，OC=MD=4，得出點C的坐標；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出點A、B的坐標；
（2）把點A（2，0）代入拋物線得出k=﹣，得出頂點E的坐標，得出DE、ME，由勾股定理得出EA2=，證出MA2+EA2=ME2 ， 由勾股定理的逆定理證出∠MAE=90°，即可得出EA與⊙M相切；
（3）由勾股定理求出BC，分三種情況：①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合，容易得出點P的坐標；
②當BP=BC=4時，由勾股定理求出PD，即可得出點P的坐標；
③當PC=BC=4時，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出點P的坐標．