Question

【題目】已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+ ， PA= ， 則：
①線段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之間的數量關系為 ；
（2）如圖② ， 若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；
（3）若動點P滿足 ， 求的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

Answer 1

【答案】
（1）；2；PA2+PB2=PQ2
（2）

解：如圖②：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2．

（3）

解：如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

①當點P位于點P1處時．

∵=，

∴．

∴．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

∴．

②當點P位于點P2處時．

∵，

∴．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴．

綜上所述，的比值為或．

【解析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長，然后根據PA的長，可求得PB的長；過點C作CD⊥AB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長，然后在Rt三角形CDP中依據勾股定理可求得PC的長；②△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，從而可求得：CD=AD=DB，然后根據AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可證明AP2+BP2=2PC2 ， 因為在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2
（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可證明AP2+BP2=2PC2 ， 因為在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的結論；
（3）根據點P所在的位置畫出圖形，然后依據題目中的比值關系求得PD的長（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可．
此題綜合考查了通過構造直角三角形，利用勾股定理解題的知識.