Question

【題目】如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點P在射線AC上運動，過點P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫出線段AD及⊙O半徑的長；
（2）設PH=x，PC=y，求y關于x的函數關系式；
（3）當PH與⊙O相切時，求相應的y值．

Answer 1

【答案】（1）r=1； AD=3

（2）y與x的函數關系式是y=x+4（0≤x≤2.4）； y=x-4（x＞2.4）

（3）y=或y=1

【解析】（1）⊙O的半徑r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1；
AD=3

（2）①如圖，若點P在線段AC上時．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB，

∴
∴即y與x的函數關系式是y=x+4（0≤x≤2.4）；

②同理，當點P在線段AC的延長線上時，△AHP∽△ACB，
∴y=x-4，即y與x的函數關系式是y=x-4（x＞2.4）

（3）①當點P在線段AC上時，如圖，P′H′與⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四邊形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四邊形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=x+4，解得，y=．（8分）
②當點P在AC的延長線上時，如圖，P″H″與⊙O相切．此時y=1（10分）