Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E為對角線AC上一動點（不與點A、C重合），過點E作直線MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，將矩形ADNM沿MN折疊，使得點A、D的對應點P、Q分別落在AB、CD所在的直線上，若△ACP為等腰三角形，則BM的長為$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情形①當PA=PC時，設PA=PC=x，在Rt△PBC中，構建PC²=BP²+BC²，可得x²=3²+（4-x）²，求出x即可解決問題．②當AP=AC時，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，可得AP=5，PM=AM=$\frac{5}{2}$，由此即可求出BM．

解答 解：①當PA=PC時，設PA=PC=x，
在Rt△PBC中，∵PC²=BP²+BC²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴PM=AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{25}{16}$，
∴BM=AB-AM=4-$\frac{25}{16}$=$\frac{39}{16}$
②當AP=AC時，
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP=5，
∴PM=AM=$\frac{5}{2}$，
∴BM=AB=AM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查翻折變換、矩形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．