Question

【題目】某企業設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．
（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）如果該企業要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？（每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]

＝（x－50）（－5x＋550）

＝－5x2＋800x－27500

∴ 與 之間的函數關系為： ．

（2）解：y＝－5x2＋800x－27500

＝－5(x－80)2＋4500

∵a＝－5＜0，

∴拋物線開口向下．

∵50≤ ≤100，對稱軸是直線 ＝80，

∴當 ＝80時， 最大＝4500．

（3）解：當 ＝4000時，－5( －80)2＋4500＝4000，解得 ＝70， ＝90，

又∵ 的圖象開口向下，

∴當70≤ ≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元．

由每天的總成本不超過7000元，得50（－5 ＋550）≤7000，解得 ≥82，

∴82≤ ≤90，

∵50≤ ≤100，

∴銷售單價應該控制在82元至90元(包括端點)之間.

【解析】（1）根據每天的銷售利潤y=每一件的利潤每天的銷售量，即可求出函數解析式。
（2）求出（1）中函數的頂點坐標，即可求出結論。
（3）先求出y=4000時對應的自變量x的值，結合二次函數的性質，得出每天的銷售利潤不低于4000元時自變量的取值范圍；再根據每天的總成本≤7000，建立不等式求解，即可求出銷售單價應控制的范圍。