Question

【題目】 已知，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝kBC，點D，E分別在邊BC，AC上，且AE＝kCD，作線段DF⊥DE，且DE＝kDF，連接EF交AB于點G．

（1）如圖1，當k＝1時，求證：①∠CED＝∠BDF，②AG＝GB；

（2）如圖2，當k≠1時，猜想的值，并說明理由；

（3）當k＝2，AE＝4BD時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2），理由詳見解析；（3）

【解析】

（1）由同角的余角相等可證，連接BF，易證繼而可證，即可得到.

（2）由已知可求，得，由可知，再證，得，結合已知線段關系可知，即可得到.

（3）設BD為x，由k=2、AE=4BD可得AE=2CD=4x，AC=2BC=6x，DE=2DF，通過轉化可得CE=CD=2x，進而通過勾股定理可得DE=2DF=2x，即可求出.

解：（1）①∵，，

∴．

∵，，

∴．

②如圖，連接BF，

∵，，

∴．

由①知，又∵，

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴．

∴，．

∴．

∴．

（2）．理由如下：

如圖，連接BF，

∵，，

∴．

∵，，

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∴．

∴，．

∴，．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

（3）

理由如下：當k=2時，依題意得AE=2CD,AC=2BC,DE=2DF，

又有AE=4BD，

∴CD=2BD，

設BD=x，則CD=2x，BC=3x，AE=4x，AC=6x.

∴CE=2x，

∵∠ACB=90°，

∴DE==2x，

∵DE=2DF，

∴DF=x，

∴