Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中點，過E點作射線EF∥BC，交CD于點G，AB、AD的長恰好是方程x²-4x+a²+2a+5=0的兩個相等實數根，動點P、Q分別從點A、E出發，點P以每秒1個單位長度的速度沿射線AB由點A向點B運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿EF由E向F運動，設點P、Q運動的時間為t．
（1）求線段AB、AD的長；
（2）如果t＞1，DP與EF相交于點N，求△DPQ的面積S與時間t之間的函數關系式；
（3）當t＞0時，是否存在△DPQ是直角三角形的情況？如果存在請求出時間t；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩根相等可得出判別式等于零，從而可得出AB和AD的長度．
（2）過點P作PM⊥DA，交DA的延長線于M，過點D作DK⊥EF，求出表示△DPQ的面積S需要的線段長度，然后利用三角形的面積表達式可得出兩者的關系．
（3）直角三角形，因為不確定哪個角是直角，所以需要分類討論，注意不要漏解．
解答：解：（1）根據題意可知，△=4²-4（a²+2a+5）=-4（a+1）²=0，
∴a=-1，
原方程可化為：x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
∴AD=AB=2．

（2）過點P作PM⊥DA，交DA的延長線于M，過點D作DK⊥EF，
∵∠A=120°，AD∥BC且AD=AB=2，
∴∠B=60°，，
∵E是AB中點，且EF∥BC，
∴，
∵AP=t，
∴，
∵t＞1 AE=1，
∴P在E的下方，
∴，
∵E是AB中點，AD∥EF，AB=2，
∴，
∴，
∴，
∴S_△DPQ=，
=，

（3）根據題意可知：，
∴，
∴DP²=（DM）²+（PM）²，

DP²=t²+2t+4，
根據勾股定理可得：

，
，
PQ²=7t²-4t+1，
①當∠PDQ=90°，PQ²=DQ²+PD²
7t²-4t+1=4t²-10t+7+t²+2t+4，
解之得：（舍負），
②當∠DPQ=90°，DQ²=PQ²+PD²
4t²-10t+7=7t²-4t+1+t²+2t+4，
解之得：（舍負），
③當∠DQP=90°，PD²=DQ²+PQ²，
t²+2t+4=7t²-4t+1+4t²-10t+7，
解之得：，
綜上，當，，時△DPQ是直角三角形．
點評：本題考查了梯形及一元二次方程的結合，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是將題目分解，一步一步的得出解答此題需要的條件，切忌手忙腳亂無從下手．