Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分別是BD，AC的中點，BD平分∠ABC．
（1）求證：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）先由已知AD∥CB，得∠ADB=∠CBD，再由，BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，由此推出∠ADB=∠ADB，即△ABD為等腰三角形，已知E，F分別是BD，AC的中點，所以推出AE⊥BD．
（2）延長AE交BC于G，能推出△ABE≌△GBE，所以得AE=GE，BG=AB，由（1）得AB=AD，則BG=AD，?CG=BC-BG=BC-AD，再由證明和已知得EF=

1

2

CG，從而求出EF的長．

解答：（1）證明：∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，
已知E是BD的中點，
∴AE⊥BD．

（2）解：延長AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
又∵AE⊥BD（已證），
∴∠AEB=∠GEB，
BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD，
又∵F是AC的中點（已知），
所以由三角形中位線定理得：
EF=

1

2

CG=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD）
=

1

2

×（14-4）=5．
答：EF的長為5．

點評：此題考查的知識點是三角形中位線定理的應用和等腰三角形的判定和性質，其關鍵是（1）證△ABD是等腰三角形．（2）延長AE交BC于G，推出E是AG的中點和BG=AD．