Question

如圖，將一把直角三角板的直角頂點放置于原點O，兩直角邊與拋物線y=x²交于M、N兩點，設M、N的橫坐標分別為m、n（m＞0，n＜0）；請解答下列問題：
（1）當m=1時，n=______；當m=2時，n=______．試猜想m與n滿足的關系，并證明你猜想的結論．
（2）連接M、N，若△OMN的面積為S，求S關于m的函數關系式．
（3）當三角板繞點O旋轉到某一位置時，恰好使得∠MNO=30°，此時過M作MA⊥x軸，垂足為A，求出△OMA的面積．
（4）當m=2時，拋物線上是否存在一點P使M、N、O、P四點構成梯形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當m=1時，點M的坐標為（1，1），點N的坐標為（n，n²），
所以，=，
解得n=-1；
當m=2時，點M的坐標為（2，4），點N的坐標為（n，n²），
所以，=，
解得n=；
猜想：m與n滿足的關系：m•n=-1．
證明：作NB⊥x軸，垂足為B，∵∠MON=90°，
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°，
∵∠AOM+∠AMO=90°，
∴∠BON=∠AMO，
又∵∠OAM=∠NBO=90°，
∴△OMA∽△NOB，
∵M（m，m²） N（n，n²），
∴=，
即=，
整理得：m•n=-1；

（2）S_△OMN=S_梯形ABNM-S_△BON-S_△AOM=--，
=，
=，
=，
=；

（3）∵∠MNO=30°，
∴cot∠MNO=cot30°=，
即=，
又∵△OMA∽△NOB（已證），
∴=，
將m•n=-1代入得m³=，
∴△OMA的面積=m•m²=m³=；

（4）當m=2時，∵點M在拋物線y=x²上，
∴點M的坐標為（2，4），
n=-=-，
∴點N的坐標為（-，），
所以，直線ON的解析式為y=-x，OM的解析式為y=2x，
設直線MN的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線MN的解析式為y=x+1，
①MP∥ON時，設直線MP的解析式為y=-x+e，
則-×2+e=4，
解得e=5，
所以，直線MP的解析式為y=-x+5，
聯立，
解得（為點M），，
所以，點P的坐標為（-，）；
②OP∥MN時，OP的解析式為y=x，
聯立，
解得（為點O），，
所以，點P的坐標為（，）；
③NP∥OM時，設直線NP解析式為y=2x+f，
則2×（-）+f=，
解得f=，
所以，直線NP的解析式為y=2x+，
聯立，
解得（為點N），，
所以，點P的坐標為（，），
可以證明，以上三種情況底邊都不相等，都是梯形，
綜上所述，點P的坐標為（-，）或（，）或（，）時，M、N、O、P四點構成梯形．
分析：（1）根據點M、N的坐標的橫坐標與縱坐標的長度對應成比例列式計算即可得解；過點N作NB⊥x軸，垂足為B，根據同角的余角相等求出∠BON=∠AMO，然后證明△OMA和△NOB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到m、n的關系式，從而得到證明；
（2）根據△OMN的面積=梯形ABNM的面積-△BON的面積-△AOM的面積，列式整理即可得解；
（3）根據∠MNO的余切值求出，再根據△OMA和△NOB相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出m、n的關系，然后把m•n=-1代入消掉n，再根據三角形的面積公式列式整理即可得解；
（4）先求出M、N的坐標，然后求出直線ON、MN、OM的解析式，然后分①MP∥ON時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；②OP∥MN時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；③NP∥OM時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積求解，梯形的兩底邊平行的性質，待定系數法求一次函數解析，聯立兩函數解析式求交點坐標，（4）要分△OMN的三邊分別是梯形的底邊的情況進行討論求解，比較復雜，計算時要認真仔細．