Question

如圖，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與拋物線y=ax²（a＜0）交于A、B兩點，請解答以下問題：

（1）若測得OA=OB=2（如圖1），求a的值；
（2）對同一條拋物線，將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；
（3）對該拋物線，將三角板繞點O旋轉任意角度時，交點A、B的連線段總經過一個固定的點，試求出該點的坐標．

Answer 1

解：（1）設線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
將B（2，-2）代入拋物線y=ax²（a＜0）得，a=-．

（2）過點A作AE⊥x軸于點E，
∵點B的橫坐標為1，∴B （1，-），
設A（-m，-m ²）（m＞0），則
OB²=1²+（）²=，OA²=m²+m⁴，AB²=（1+m）²+（-+m²）²，
∵∠AOB=90°，∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-+m²）²=m²+m⁴+，
解得：m=0（不合題意舍去）或m=4，即點A的橫坐標為-4．

（3）解法一：設A（-m，-m ²）（m＞0），B（n，-n ²）（n＞0），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則，
①×n+②×m得，（m+n）b=-（m²n+mn²）=-mn（m+n），
∴b=-mn，
由前可知，OB²=n²+n⁴，OA²=m²+m⁴，AB²=（n+m）²+（-m²+n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+n⁴+m²+m⁴=（n+m）²+（-m²+n²）²，
化簡，得mn=4．
∴b=-×4=-2．由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2），

解法二：設A（-m，-m ²）（m＞0），B（n，-n ²）（n＞0），
直線AB與y軸的交點為C，根據S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF=S_△AOC+S_△BOC，可得
×（m²+n²）（m+n）-m×m²-n×n²=CO•m+CO•n
化簡，得CO=mn，
由前可知，OB²=n²+n⁴，OA²=m²+m⁴，AB²=（n+m）²+（-m²+n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+n⁴+m²+m⁴=（n+m）²+（-m²+n²）²，
化簡，得mn=4．
∴OC=2為固定值．故直線AB恒過其與y軸的交點C（0，-2）．
分析：（1）根據拋物線的對成性，先求出B點坐標，代入拋物線y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過點A作AE⊥x軸于點E，可利用AB²=OA²+OB²，求出點A的橫坐標．
（3）首先設A（-m，-m²）（m＞0），B（n，-n²）（n＞0），表示出直線AB解析式中b=-mn，再利用勾股定理得出mn=4，進而得出直線AB恒過其與y軸的交點C（0，-2）．
點評：此題考查了拋物線的對稱性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）問求出mn=4是解題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．