Question

（2012•鎮江模擬）如圖，將一把直角三角板的直角頂點放置于原點O，兩直角邊與拋物線y=x²交于M、N兩點，設M、N的橫坐標分別為m、n（m＞0，n＜0）；請解答下列問題：
（1）當m=1時，n=

-1

；當m=2時，n=

-

1

2

．試猜想m與n滿足的關系，并證明你猜想的結論．
（2）連接M、N，若△OMN的面積為S，求S關于m的函數關系式．
（3）當三角板繞點O旋轉到某一位置時，恰好使得∠MNO=30°，此時過M作MA⊥x軸，垂足為A，求出△OMA的面積．
（4）當m=2時，拋物線上是否存在一點P使M、N、O、P四點構成梯形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點M、N的坐標的橫坐標與縱坐標的長度對應成比例列式計算即可得解；過點N作NB⊥x軸，垂足為B，根據同角的余角相等求出∠BON=∠AMO，然后證明△OMA和△NOB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到m、n的關系式，從而得到證明；
（2）根據△OMN的面積=梯形ABNM的面積-△BON的面積-△AOM的面積，列式整理即可得解；
（3）根據∠MNO的余切值求出

NO

OM

，再根據△OMA和△NOB相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出m、n的關系，然后把m•n=-1代入消掉n，再根據三角形的面積公式列式整理即可得解；
（4）先求出M、N的坐標，然后求出直線ON、MN、OM的解析式，然后分①MP∥ON時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；②OP∥MN時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；③NP∥OM時，根據平行直線的解析式的k值相等求出直線MP的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）當m=1時，點M的坐標為（1，1），點N的坐標為（n，n²），
所以，

1

1

=

n2

-n

，
解得n=-1；
當m=2時，點M的坐標為（2，4），點N的坐標為（n，n²），
所以，

2

4

=

n2

-n

，
解得n=-

1

2

；
猜想：m與n滿足的關系：m•n=-1．
證明：作NB⊥x軸，垂足為B，∵∠MON=90°，
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°，
∵∠AOM+∠AMO=90°，
∴∠BON=∠AMO，
又∵∠OAM=∠NBO=90°，
∴△OMA∽△NOB，
∵M（m，m²） N（n，n²），
∴

AM

OA

=

ON

BN

，
即

m2

m

=

-n

n2

，
整理得：m•n=-1；

（2）S_△OMN=S_梯形ABNM-S_△BON-S_△AOM=

(m2+n2)(m-n)

2

-

-n3

2

-

m3

2

，
=

mn(n-m)

2

，
=

m-n

2

，
=

m+ 1 m

2

，
=

m2+1

2m

；

（3）∵∠MNO=30°，
∴cot∠MNO=cot30°=

NO

OM

，
即

NO

OM

=

3

，
又∵△OMA∽△NOB（已證），
∴

n2

m

=

3

，
將m•n=-1代入得m³=

3

3

，
∴△OMA的面積=

1

2

m•m²=

1

2

m³=

3

6

；

（4）當m=2時，∵點M在拋物線y=x²上，
∴點M的坐標為（2，4），
n=-

1

m

=-

1

2

，
∴點N的坐標為（-

1

2

，

1

4

），
所以，直線ON的解析式為y=-

1

2

x，OM的解析式為y=2x，
設直線MN的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 - 1 2 k+b= 1 4

，
解得

k= 3 2 b=1

，
所以，直線MN的解析式為y=

3

2

x+1，
①MP∥ON時，設直線MP的解析式為y=-

1

2

x+e，
則-

1

2

×2+e=4，
解得e=5，
所以，直線MP的解析式為y=-

1

2

x+5，
聯立

y=- 1 2 x+5 y=x2

，
解得

x1=2 y1=4

（為點M），

x2=- 5 2 y2= 25 4

，
所以，點P的坐標為（-

5

2

，

25

4

）；
②OP∥MN時，OP的解析式為y=

3

2

x，
聯立

y= 3 2 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

（為點O），

x2= 3 2 y2= 9 4

，
所以，點P的坐標為（

3

2

，

9

4

）；
③NP∥OM時，設直線NP解析式為y=2x+f，
則2×（-

1

2

）+f=

1

4

，
解得f=

5

4

，
所以，直線NP的解析式為y=2x+

5

4

，
聯立

y=2x+ 5 4 y=x2

，
解得

x1=- 1 2 y1= 1 4

（為點N），

x2= 5 2 y2= 25 4

，
所以，點P的坐標為（

5

2

，

25

4

），
可以證明，以上三種情況底邊都不相等，都是梯形，
綜上所述，點P的坐標為（-

5

2

，

25

4

）或（

3

2

，

9

4

）或（

5

2

，

25

4

）時，M、N、O、P四點構成梯形．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積求解，梯形的兩底邊平行的性質，待定系數法求一次函數解析，聯立兩函數解析式求交點坐標，（4）要分△OMN的三邊分別是梯形的底邊的情況進行討論求解，比較復雜，計算時要認真仔細．